自然数的分解:合数与素数

人们在钻研事物时,总喜欢去探索根源 , 而这通常就需要对事物进行分解,比如物理学就致力于寻觅形成物资的基本粒子 。数学家们也同样,在钻研自然数时,也但愿能够找到形成自然数的“基本粒子”,通过对自然数的分解,探究“最基本的数”,这也是本文的宗旨内容,也就是讲授合数与素数 。
素数指的是大于1的且只能被1以及本身整除了的自然数,其他的大于1的自然数被称为合数 。举例说明:最小的素数是2,由于只有1以及2这两个因子;最小的合数是4,由于它的因子包含1,2,4.咱们认为素数是不可分的 , 也即不能分解成其他数的乘积,但合数能够分解成其他素数的乘积,所以,素数就好比是自然数的“基本粒子” 。这样的“基本粒子”有多少个呢?这是数学家们很自然就会想到的问题,第一个解决这个问题的是欧几里德(约公元前330-公元前275 , 中国战国中后期),用的是反证法 , 参考如下:
假定素数的个数是有限的,总共有n个,按大小顺次排列为,构造一个数 , 它是所有素数的乘积再加之1,如 , 很显然a不被任何一个素数整除了,更不可能被任何合数整除了,因而,a也是素数,假定即不成立,素数是无穷多个的 。
然而,如上构造法得到的数并不是一定是素数,咱们以20之内的素数来举例计算:

其中,,即不是素数 。怎么寻觅素数是数学家几千年一直努力的方向,最先的寻觅办法叫做“筛法”,也是比较原始的办法,举例寻觅20之内的所有素数,先把20之内的自然数(1去掉)顺次排列如下:
2,3,4,5 , 6,7 , 8,9,10 , 11 , 12,13 , 14,15,16,17,18,19,20
第一步,去掉所有2的倍数,得到2,3,5,7 , 9,11,13,15 , 17,19;
第二步,再去掉所有3的倍数 , 得到2,3,5,7,11,13,17,19
然后,顺次去掉所有5的倍数及其他素数的倍数,本例中终究结果是:2,3,5,7 , 11,13,17 , 19 。
然而这样的办法确切太慢了,数学们但愿能够找到更快速的办法来寻觅素数,比如著名的业余数学巨匠费马(1601-1665,明代万历29年-清代康熙4年),他在中国最广为人知的是以他命名的费马大定理 , 他提出一个公式来发生素数,并自认是正确的 , 这个公式如下:
,费马算出了前4个数,均为素数,如下:
然而,号称所有人的老师的欧拉(1707-1783,清代康熙46年-乾隆48年)算出第五个数,立马颠覆了费马的结论,,再日后算得到结果也不是素数,如 。
另外一个构造素数的办法是,梅森(1588-1648,明代万历16年-清明顺治5年)与费马通讯探讨过这个公式,并经由四年钻研,得到结果当n=2 , 3,5,7,13 , 17,19时,这个公式计算所得的数是素数 , 同时,料想n=31,67,127,257时,所得的数也是素数(人们称这类素数为梅森素数),然而,1930年,数学家科尔算出,颠覆了梅森的料想 。2016年,美国数学家库珀发现第49个梅森素数,即,这个素数有22338618位 。借助计算机强大的计算能力 , 帮助人们继续寻觅更大的梅森素数,“互联网梅森素数大搜寻”(简称GIMPS)项目动用180个国家以及地区超过27万人,70万台计算机来寻觅梅森素数 。
数学们至今都未能找到一个行之有效的发生素数的办法!
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